2.2 이차함수의 식 결정 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"조건에서 식으로 — 어떤 형태로 시작할까?"

같은 이차함수도 어떤 조건이 주어졌느냐에 따라 가장 빠르게 풀 수 있는 시작 형태가 다르다. 전략 = 조건 + 형태. 세 가지 표준 형태 중에서 조건에 맞는 것을 골라 시작하면, 미지수 하나만 결정하면 끝나는 경우가 많다.

꼭짓점이 보이면 → 꼭짓점형 $y = a(x-p)^2 + q$
$x$ 절편이 보이면 → 인수형 $y = a(x-\alpha)(x-\beta)$
세 점이 보이면 → 일반형 $y = ax^2 + bx + c$

Core · 3가지 형태

이차함수의 세 가지 표준 형태

Three Standard Forms

Form 1 · 꼭짓점형

$y = a(x-p)^2 + q$

Vertex Form

꼭짓점 $(p, q)$ 가 식에 그대로 들어 있다.

조건: 꼭짓점 + 한 점

Form 2 · 인수형

$y = a(x-\alpha)(x-\beta)$

Factored Form

$x$ 절편 $\alpha, \beta$ 가 식에 그대로 들어 있다.

조건: 두 $x$ 절편 + 한 점

Form 3 · 일반형

$y = ax^2 + bx + c$

General Form

세 미지수 $a, b, c$ — 세 점을 대입해 연립으로 풀이.

조건: 임의의 세 점

Method · 01

꼭짓점형으로 결정

Vertex + One Point

1꼭짓점 + 한 점 → 식

꼭짓점 $(p, q)$ 가 주어졌으니, 식 형태는 $y = a(x-p)^2 + q$ 로 즉시 결정. 미지수는 $a$ 하나뿐. 한 점만 더 대입하면 끝.

예) 꼭짓점 $(2, 3)$, 점 $(4, 11)$ 통과

꼭짓점 대입 → 형태 결정

$y = a(x - 2)^2 + 3$

한 점 대입 → $a$ 결정

$11 = a(4-2)^2 + 3 = 4a + 3 \Rightarrow a = 2$

완성된 식

$y = 2(x - 2)^2 + 3$

Method · 02

인수형으로 결정

$x$-Intercepts + One Point

1$x$ 절편 두 개 + 한 점 → 식

$x$ 절편이 $\alpha, \beta$ 라면, 식 형태는 $y = a(x-\alpha)(x-\beta)$. 두 절편이 그대로 식에 들어가고 — 미지수는 역시 $a$ 하나뿐.

예) $x$ 절편 $-2, 4$ 이고 점 $(0, -8)$ 통과

$x$ 절편으로 형태 결정

$y = a(x + 2)(x - 4)$

한 점 대입 → $a$ 결정

$-8 = a \cdot (0+2)(0-4) = -8a \Rightarrow a = 1$

완성된 식

$y = (x + 2)(x - 4)$

일반형으로 펼치기 (필요시)

$y = x^2 - 2x - 8$

$x$ 절편을 그대로 인수의 형태로 적는 직관 — Ⅲ단원 인수분해의 역방향.

Method · 03

일반형으로 결정

Three Arbitrary Points

1세 점 → 식

꼭짓점도, $x$ 절편도 알 수 없는 경우 — 세 점이 주어졌다면 일반형 $y = ax^2 + bx + c$ 로 시작.

세 점을 차례로 대입하면 $a, b, c$ 에 대한 세 식이 만들어진다. 연립방정식으로 풀이.

예) 세 점 $(0, 3), (1, 6), (-1, 2)$ 를 지나는 이차함수

$(0, 3)$ 대입 → $c$ 결정

$3 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \Rightarrow c = 3$

$(1, 6)$ 대입

$6 = a + b + 3 \Rightarrow a + b = 3 \;\;\;\;\; ①$

$(-1, 2)$ 대입

$2 = a - b + 3 \Rightarrow a - b = -1 \;\;\;\;\; ②$

① + ② 로 $a$ 결정, 빼서 $b$ 결정

$2a = 2 \Rightarrow a = 1, \;\; b = 2$

완성된 식

$y = x^2 + 2x + 3$

팁. 세 점 중 하나가 $(0, ?)$ 인 형태로 주어지면 $c$ 가 즉시 결정되어 풀이가 훨씬 간단해진다.

Strategy · 형태 선택

조건에 맞는 형태 선택

Condition → Form

주어진 조건	선택할 형태
꼭짓점 + 한 점	꼭짓점형 $y = a(x-p)^2 + q$
대칭축 $x = p$ + 두 점	꼭짓점형 ($q$ 도 미지수로 두기)
$x$ 절편 두 개 + 한 점	인수형 $y = a(x-\alpha)(x-\beta)$
임의의 세 점	일반형 $y = ax^2 + bx + c$
$y = ax^2$ 의 평행이동 + 점	꼭짓점형 ($p, q$ 가 이동량)

핵심. 조건에 맞는 형태를 고르면 미지수가 1~2 개로 줄어든다. 형태 선택이 곧 시간 절약.

실수 01 · 꼭짓점 무시

꼭짓점이 주어졌는데 일반형으로 시작

잘못 : 꼭짓점 (2, 3) 주어짐 → $y = ax^2 + bx + c$ 로 세 점 찾기

옳음 : $y = a(x-2)^2 + 3$ 으로 시작 → $a$ 하나만 구하면 끝

꼭짓점이 주어지면 즉시 꼭짓점형. 일반형은 마지막에 펼칠 수 있다.

실수 02 · $x$ 절편 부호

$x$ 절편이 음수일 때 인수형 부호

잘못 : $x$ 절편 $-2, 4$ → $y = a(x-(-2))(x-4) = a(x-2)(x-4)$

옳음 : $y = a(x-(-2))(x-4) = a(x+2)(x-4)$

$-(-2) = +2$ 이므로 식에 $(x+2)$ 가 들어간다. 부호 처리 주의.

Interactive · 실험실

꼭짓점형 식 결정기

Vertex Form Builder

꼭짓점 좌표와 한 점을 입력하면 이차함수의 식이 자동 결정된다.

꼭짓점 p 꼭짓점 q 점 x₁ 점 y₁

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. 꼭짓점 $(1, 2)$, 점 $(2, 5)$ 를 지나는 이차함수의 식을 꼭짓점형으로 구하라. (예: y=3(x-1)^2+2)

Q2. 꼭짓점 $(3, -1)$, 점 $(5, 7)$ 을 지나는 이차함수의 식은?

Q3. $x$ 절편이 $-2, 3$ 이고 점 $(0, -6)$ 을 지나는 이차함수의 식을 인수형으로 구하라. (예: y=(x+2)(x-3))

Q4. 세 점 $(0, 5), (1, 3), (-1, 9)$ 를 지나는 이차함수의 식을 일반형으로 구하라.

Q5. $y = x^2$ 의 그래프를 오른쪽으로 2, 아래로 1 만큼 평행이동한 이차함수의 식은?

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1 · 꼭짓점형

꼭짓점이 $(1, -3)$ 이고 점 $(3, 5)$ 를 지나는 이차함수의 식을 구하라.

꼭짓점이 주어졌으므로 꼭짓점형으로 시작.

식 형태 → $y = a(x - 1)^2 - 3$
점 $(3, 5)$ 대입 → $5 = a(3-1)^2 - 3 = 4a - 3$
$4a = 8 \;\Rightarrow\; a = 2$
완성 → $y = 2(x - 1)^2 - 3$

예제 2 · 인수형

$x$ 절편이 $-1, 3$ 이고 점 $(1, -4)$ 를 지나는 이차함수의 식을 일반형으로 구하라.

$x$ 절편이 주어졌으므로 인수형으로 시작 → 일반형으로 펼치기.

인수형 형태 → $y = a(x + 1)(x - 3)$
점 $(1, -4)$ 대입 → $-4 = a(1+1)(1-3) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a$
$-4a = -4 \;\Rightarrow\; a = 1$
인수형 → $y = (x + 1)(x - 3)$
일반형으로 펼치기 → $y = x^2 - 2x - 3$

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

꼭짓점 $(0, 0)$, 점 $(2, 8)$ 을 지나는 이차함수의 식은? (예: y=2x^2)

02★

꼭짓점 $(0, -3)$, 점 $(1, -1)$ 을 지나는 이차함수의 식은?

03★★

꼭짓점 $(2, 1)$, 점 $(0, 5)$ 를 지나는 이차함수의 식을 꼭짓점형으로 구하라.

04★★

$x$ 절편 $-1, 3$, 점 $(2, -3)$ 을 지나는 이차함수의 식을 인수형으로 구하라.

05★★

$x$ 절편 $0, 4$, 점 $(2, -4)$ 를 지나는 이차함수의 식을 인수형으로 구하라.

06★★★

세 점 $(0, 1), (1, 0), (2, 1)$ 을 지나는 이차함수의 식을 일반형으로 구하라.

07★★★

세 점 $(0, 3), (1, 6), (-1, 2)$ 를 지나는 이차함수의 식을 일반형으로 구하라.

08★★★

$y = x^2$ 의 그래프를 $x$ 축 방향으로 $3$, $y$ 축 방향으로 $-2$ 만큼 평행이동한 이차함수의 식은?

조건 → 형태 → 식

주어진 조건을 보고 시작 형태를 정하는 것이 식 결정의 핵심. 꼭짓점·$x$ 절편·세 점 — 어느 정보가 손에 있는지에 따라 풀이 시간이 크게 달라진다. 다음 차시에서는 결정된 이차함수의 최댓값·최솟값을 찾는 법을 다룬다.

"The right form for the right condition — that's the strategy."